22.2 二次函数与一元二次方程(1) 教案

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22.2 二次函数与一元二次方程(1) 教案
22.2二次函数与一元二次方程(1)教案教学时间课题22.2用函数的观点看一元二次方程(1)课型新授课教学目标知识和能力通过探索,使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。过程和方法使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题,提高学生用数学的意识。情感态度价值观进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想。教学重点使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题教学难点进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想课堂教学程序设计设计意图一、引言在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,如拱桥跨度、拱高计算等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义。本节课,请同学们共同研究,尝试解决以下几个问题。二、探索问题问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内,柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示。//根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+。(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点1.让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题(1)就是求函数y=-x2+2x+最大值,问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标;2.学生解答,教师巡视指导;3.让一两位同学板演,教师讲评。问题2:一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示,现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时,离开水面1.5m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?/教学要点1.教师分析:根据已知条件,要求ED的宽,只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中,即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上,又由已知条件可得到点D的纵坐标,所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。2.让学生完成解答,教师巡视指导。3.教师分析存在的问题,书写解答过程。解:以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线为x轴,建立直角坐标系。这时,涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为:y=ax2(a<0)(1)因为AB与y轴相交于C点,所以CB==0.8(m),又OC=2.4m,所以点B的坐标是(0.8,-2.4)。因为点B在抛物线上,将它的坐标代人(1),得-2.4=a×0.82所以:a=-因此,函数关系式是y=-x2(2)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。问题3:画出函数y=x2-x-3/4的图象,根据图象回答下列问题。(1)图象与x轴交点的坐标是什么;(2)当x取何值时,y=0?这里x的取值与方程x2-x-=0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?教学要点1.先让学生回顾函数y=ax2+bx+c图象的画法,按列表、描点、连线等步骤画出函数y=x2-x-的图象。2.教师巡视,与学生合作、交流。3.教师讲评,并画出函数图象,如图(4)所示。4.教师引导学生观察函数图象,回答(1)提出的问题,得到图象与x轴交点的坐标分别是(-,0)和(,0)。5.让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评。/6.对于问题(3),教师组织学生分组讨论、交流,各组选派代表发表意见,全班交流,达成共识:从“形”的方面看,函数y=x2-x-的图象与x轴交点的横坐标,即为方程x2-x-=0的解;从“数”的方面看,当二次函数y=x2-x-的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程x2-x-=0的解。更一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。三、试一试根据问题3的图象回答下列问题。(1)当x取何值时,y<0?当x取何值时,y>0?(当-<x<时,y<0;当x<-或x>时,y>0)(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题?(能用含有x的不等式采描述(1)中的问题,即x2-x-<0的解集是什么?x2-x->0的解集是什么?)想一想:二次函数与一元二次不等式有什么关系?让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系,讨论、交流,达成共识:(1)从“形”的方面看,二次函数y=ax2+bJ+c在x轴上方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标.即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。(2)从“数”的方面看,当二次函数y=ax2+bx+c的函数
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